Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC，-bcosB，ccosA成等差数列．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，，求a，c的长．

Answer

（I）由acosC，-bcosB，ccosA成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再利用正弦定理，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0，两边同时除以sinB，可得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB及已知的面积代入求出ac的值，记作方程①，然后再利用余弦定理表示出cosB，把b，ac及cosB的值代入，求出a2+c2的值，并利用完全平方公式及ac的值求出a+c的值，记作方程②，联立①②即可求出a与c的值．
【解析】
（I）∵acosC，-bcosB，ccosA成等差数列，
∴-2bcosB=acosC+ccosA，
利用正弦定理化简得：-2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），
又sin（A+C）=sin（π-B）=sinB，
∴-2sinBcosB=sinB，
又B为三角形的内角，∴sinB≠0，
∴cosB=-，
则B=；
（Ⅱ）∵B=，∴sinB=，
又S△ABCacsinB=2，
∴ac=8①，
又b=2，cosB=-，
∴由余弦定理得：cosB===-，
可得：a2+c2=20，
∴（a+c）2=a2+c2+2ac=20+16=36，
∴a+c=6②，
联立①②解得：a=2，c=4或a=4，c=2，
则a=2，c=4或a=4，c=2．