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已知f(x)=-2x2+2ax-a2b. (I)当不等式f(x)>0的解集为(-...

已知f(x)=-2x2+2ax-a2b.
(I)当不等式f(x)>0的解集为(-1,3)时,求实数a,b的值;
(Ⅱ)若对任意实数a,f(2)<0恒成立,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)设b使不为0的常数,解关于a的不等式f(1)+ab<0.
(I)将不等式f(x)>0的解集为(-1,3),转化为-1,3是方程-2x2+2ax-a2b=0的两个根,从而可求a=2,b=; (Ⅱ)对任意实数a,f(2)<0恒成立,等价于-8+4a-a2b0对任意实数a恒成立,从而可求实数b的取值范围; (Ⅲ)f(1)+ab<0,即-2+2a-a2b+ab0,对参数b进行讨论,可解不等式. 【解析】 (I)∵不等式f(x)>0的解集为(-1,3), ∴-1,3是方程-2x2+2ax-a2b=0的两个根 ∴ ∴a=2,b=; (Ⅱ)对任意实数a,f(2)<0恒成立,等价于-8+4a-a2b<0对任意实数a恒成立 即ba2-4a+8>0对任意实数a恒成立 ∴ ∴; (Ⅲ)f(1)+ab<0,即-2+2a-a2b+ab<0 ∴ba2-(2+b)+2>0 ∴(ba-2)(a-1)>0 当b<0时, 当0<b<2时,a<1,或 当b=2时a≠1 当b>2时,,或a>1
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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