Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4a_n-3，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n，n∈N^*，b₁=2，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）根据Sn=4an-3，n∈N*得到当n≥2时，Sn-1=4an-1-3，两式相减得an=an-1，求出首项，从而可求出数列的通项公式；
（2）利用叠加法求出数列{bn}的通项公式，然后利用分组求和法进行求和即可．
【解析】
（1）因为Sn=4an-3，n∈N*．
所以当n≥2时，Sn-1=4an-1-3
两式相减得an=Sn-Sn-1=4an-4an-1，
整理得an=an-1，
由Sn=4an-3，令n=1得a1=4a1-3，解得a1=1
因此{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an=
（2）由an=，bn+1=an+bn，即bn+1-bn=an=
于是当n≥2时，
bn=b1+b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
=2+1+++…+
=2+
=3×-1
而b1=2满足n≥2时，满足bn的形式，
所以{bn}的通项公式bn=3×-1
所以Tn=-n=9×-n-9