Question

已知函数：
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．

Answer

（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再确定f（-x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）任取区间（1，+∞）上两个实数x1，x2，且x1＜x2，判断f（x1）-f（x2）的符号，进而根据函数单调性的定义，可得答案．
【解析】
（1）函数为奇函数，理由如下：
由已知函数的解析式可得函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称
又∵==-f（x）
∴函数为奇函数
（2）f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，理由如下：
任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1•x2＞1，x1•x2-1＞0，
又∵f（x1）-f（x2）=-（）====
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
故f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．