Question

如图，三角形ABC中，，点D在线段AC上，且AD=2DC=2x，．
（1）求BC的长；
（2）求三角形BDC的面积．

Answer

（1）通过余弦定理求出x与a的方程，然后分别求出∠ADB与∠BDC的余弦值，推出a与c的关系，然后求BC的长；
（2）通过三角形BDC的面积转化求三角形ABC的面积，求解即可．
【解析】
（1）设BC=a，则在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC
得①…（2分）
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得，…（4分）
．…（6分）
因为∠ADB+∠BDC=π，所以cos∠ADB=-cos∠BDC，
即=，
所以3x2-a2=-6②…（8分）
由①②可得a=3，x=1，即BC=3．                  …（10分）
（2）由（1）得==2，
所以．                        …（14分）
（注：也可以设，所以，用向量法解决；具体过程略）