Question

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若，求实数b的最大值；
（3）函数g（x）=f'（x）-a（x-x₁）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，求函数g（x）在（x₁，x₂）内的最小值．（用a表示）

Answer

（1）f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）．由得，（或由f'（-1）=0，f'（2）=0，解得a=6，b=-9．）由此能求出f（x）的解析式．
（2）由x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点，知x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根，由△=4b2+12a3＞0对一切a＞0，b∈R恒成立，，a＞0，知x1•x2＜0，由此能求出b的最大值．
（3）由x1、x2是方程f'（x）=0的两根，f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），，知，，由此能求出函数g（x）在（x1，x2）内的最小值．
【解析】
（1）f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）．（1分）
∵x1=-1，x2=2是函数f（x）的两个极值点，
由，
得，（3分）
（或由f'（-1）=0，f'（2）=0．
∴3a-2b-a2=0，12a+4b-a2=0，
解得a=6，b=-9．）
∴f（x）=6x3-9x2-36x，（4分）
（2）∵x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点，
∴f'（x1）=f'（x2）=0，
∴x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根，
∵△=4b2+12a3，
∴△＞0对一切a＞0，b∈R恒成立，
而，a＞0，
∴x1•x2＜0，
∴|x1|+|x2|=|x1-x2|
=
=
=，（6分）
由，
得=2，
∴b2=3a2（6-a）．（7分）
∵b2≥0，
∴3a2（6-a）≥0，0＜a≤6．（8分）
令h（a）=3a2（6-a），
则h'（a）=-9a2+36a．
0＜a＜4时，h'（a）＞0
∴h（a）在（0，4）内是增函数；
4＜a＜6时，h'（a）＜0，
∴h （a）在（4，6）内是减函数．
∴a=4时，h（a）有极大值为96，
∴h（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值是．…（10分）
（3）∵x1、x2是方程f'（x）=0的两根，
f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）
∵，
∴，（11分）
∴
∴g（x）=f'（x）-a（x-x1）
=，（12分）
对称轴为，
∵a＞0，
∴，
∴．（15分）