Question

已知函数（m，n为常数），且关于x的方程f（x）=x-12有两个实数根x₁=3，x₂=4．
（1）求m，n的值；
（2）设t＞1，试解关于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．

Answer

（1）欲求m，n的值，由题意得得：（m-1）x2+（n-12m）x-12n=0，根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积和两根之和，即可得到一个关于m，n的方程，解方程即可求m，n的值．
（2）由（1）得，从而关于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．化简得即（x-t）（x-1）＜0（x≠2），再对t进行分类讨论，即可得出不等式的解集．
【解析】
（1）由题意得：，
化简得：（m-1）x2+（n-12m）x-12n=0，
又关于x的方程f（x）=x-12有两个实数根x1=3，x2=4，
∴，
∴m=-1，n=2．
（2）此时，，
∴关于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．
即（2-x）＜（t+1）x-t，
化简得：x2-（t+1）x+t＜0（x≠2），
即（x-t）（x-1）＜0（x≠2），
①当1＜t≤2时，不等式的解集为：{x|1＜x＜t}；
②当t＞2时，不等式的解集为：{x|1＜x＜t且x≠2}．