Question

已知椭圆和直线，若双曲线N的一条渐近线为l₁，其焦点与M的焦点相同．
（1）求双曲线N的方程；
（2）设直线l₂过点P（0，4），且与双曲线N相交于A，B两点，与x轴交于点Q（Q与双曲线N的顶点不重合），若，求直线l₂的方程．

Answer

（1）由题意，设双曲线N的方程为：，根据椭圆与双曲线的焦点相同，可求双曲线N的方程；
（2）由题意可知直线l2的斜率存在且不可能为0，设直线l2：x=m（y-4），与双曲线方程联立，消去x可得：（3m2-1）y2-24m2y+48m2-3=0，进而可得②，③，根据，可得（4m，-4）=λ1（x1-4m，y1）=λ2（x2-4m，y2），利用，即可求得直线l2的方程．
【解析】
（1）由题意，设双曲线N的方程为：
∵椭圆的焦点为（-2，0），（2，0）
∴双曲线N：的焦点为（-2，0），（2，0）
∴λ+3λ=4
∴λ=1
∴双曲线N的方程为：
（2）由题意可知直线l2的斜率存在且不可能为0，设直线l2：x=m（y-4），A（x1，y1），B（x2，y2）
∴Q（4m，0）
联立方程，消去x可得：（3m2-1）y2-24m2y+48m2-3=0
∴3m2-1≠0，△=576m4-4（3m2-1）（48m2-3）＞0①
②，③
∵，
∴（4m，-4）=λ1（x1-4m，y1）=λ2（x2-4m，y2）
∴-4=λ1y1=λ2y2
∴
∴④
由②③④可得：且满足①式
∴直线l2的方程为2x-y+4=0或2x+y-4=0