Question

设函数f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）最大值．

Answer

（1）由已知f（1）=1，f（2）=log212代入到f（x）中，求得a、b的值即可；
（2）利用换元法，由（1）得，令g（x）=4x-2x=（2x）2-2x，再令t=2x，则y=t2-t，可知函数y=（t-）2-在[2，4]上是单调递增函数，从而当t=4时，取得最大值12，故x=2时，f（x）取得最大值．
【解析】
∵函数f（x）=log2（ax-bx），且f（1）=1，f（2）=log212
∴
∴
∴
（2）由（1）得
令g（x）=4x-2x=（2x）2-2x
令t=2x，则y=t2-t
∵x∈[1，2]，
∴t∈[2，4]，
显然函数y=（t-）2-在[2，4]上是单调递增函数，
所以当t=4时，取得最大值12，
∴x=2时，f（x）最大值为log212=2+log23