Question

过双曲线的左焦点F（-c，0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交抛物线y²=4cx于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为    ．

Answer

先设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）因为抛物线为y2=4cx，所以F'为抛物线的焦点 O为FF'的中点，E为FP的中点所以OE为△PFF'的中位线，得到PF=2b，再设P（x，y） 过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．
【解析】
设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）
因为抛物线为y2=4cx，
所以F'为抛物线的焦点 O为FF'的中点，
E为FP的中点所以OE为△PFF'的中位线，
那么OE∥PF'
因为OE=a 那么PF'=2a
又PF'⊥PF，FF'=2c 所以PF=2b
设P（x，y） x+c=2a x=2a-c
过点F作x轴的垂线，
点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y2+4a2=4b2
4c（2a-c）+4a2=4（c2-a2）
得e=．
故答案为：．