Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA1=2AB，E、F、M分别为CC₁、BC、A₁D₁中点．
（1）求证：AE∥面BC₁M；
（2）求二面角F-ED-A的余弦值．

Answer

法一：（1）通过证明面AEF∥面BC1M来证明AE∥面BC1M；
（2）分别取AE，ED中点O，O′．先根据条件得到四边形FCO′O为平行四边形，进而得FO∥CO′；再通过CO′⊥面AED得到∠OO′F为二面角F-ED-A平面角，最后通过求三角形的边长求出角的函数值即可．
法二：（1）转化为证明平面BC1M的法向量与的数量积为0；
（2）分别求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可．
法一：（1）证：E，F为CC1，BC中点⇒EF∥BC1⇒EF∥面BC1M
F，M为BC，A1D1中点⇒AF∥C1M⇒AF∥面BC1M
⇒面AEF∥面BC1M⇒AE∥面BC1M
（2）分别取AE，ED中点O，O′．连接FO，CO′，OO′，则OO′∥AD∥FC
∴平行四边形FCO′O
∴FO∥CO′
∵EC=CE
∴CO′⊥ED⇒CO′⊥面AED
AD⊥面CD D1C1⇒AD⊥CO′⇒FO⊥面AED
∵OO′⊥ED．
连接O′F．则O′F⊥ED
∴∠OO′F为二面角F-ED-A平面角，
不妨设AB=1  AA′=2
在Rt△FOO′中，OO′=AD=，AF=AE=，
AE=∴FO=
∴tan∠OO′F==
∠OO′F=arctan
∴二面角为arctan．
法二：建立如图坐标系，不妨设AA1=2AB=4．则=（2，2，2）
（1）设平面BC1M的法向量为，则：⇒=（2，-1，-1）
∵∴⊥
∴∥面BC1M
（2）同理，可解得面ADE的法向量=（0，1，-1）面FED的法向量=（-2，-1，1）
∴cos（
显然二面角F-ED-A为锐二面角
∴二面角F-ED-A为arccos．