Question

对于数列{x_n}满足x₁=a（a＞2），x_n+1=（n=1，2，…）．
（1）求证：2＜x_n+1＜x_n（n=1，2，3，…）；
（2）若a≤3，{x_n}前n项和为S_n，求证：S_n＜2n+（n=1，2，…）

Answer

（1）利用数学归纳法证明，验证n=1命题成立，然后假设n=k时命题成立，然后证明n=k+1时命题也成立．
（2）利用xn+1=，推出xn+1-2≤（xn-2），如果求和，得到sn-2n＜（a-2），然后证明结果．
证明：（1）（数学归纳法）先证：xn＞2．
∵当n=1时，x1=a＞2成立
假设n=k时，xk＞2．
则：xk+1==•=[（xk-1）+]＞×4=2
∴xn＞2
又：xn+1-xn=-xn=＜0
∴xn＞xn+1，
就是说n=k+1时2＜xn+1＜xn（n=1，2，3，…）也成立．
综上知：2＜xn+1＜xn
（2）xn+1-2=-2==•（xn-2）
∵2＜xn≤x1≤3
∴[1-]≤•（1-）=
∴xn+1-2≤（xn-2）
∴xn-2≤（）n-1•（x1-2）=（）n-1•（a-2）
∴sn-2n=≤•（a-2）＜（a-2）•=（a-2）
∵（a-2）-=＜0
∴（a-2）＜
∴sn-2n＜   
 即sn＜2n+