Question

已知函数f（x）=log₄（2x+3-x²），
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）的值域．

Answer

（1）由题意可得2x+3-x2＞0，解不等式可求函数f（x）的定义域
（2）要求函数的单调性及单调区间，根据复合函数单调性，只要求解t=22x+3-x2在定义域内的单调区间即可
（3）要求函数f（x）的最大，只要求t=2x+3-x2最大值，进而可求函数的值域
【解析】
（1）∵2x+3-x2＞0．
∴-1＜x＜3．
∴函数f（x）的定义域为（-1，3）．
（2）令t=2x+3-x2，则函数t在（-1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减．
∵y=log4t在（0，+∞）单调递增．
∴函数f（x）在（-1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减．
（3）由（2）的单调性可知，当x=1时，函数f（x）有最大值1，此时x=1．
函数的值域为（-∞，1]