Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2且n∈N^*）．
（I）证明数列{a_n+a_n+1}是等比数列；
（II）求a₁+a₂+…a_n（n∈N^*）

Answer

（I）利用a1=1，a2=2，an+1=2an+3an-1，推出是常数，即可证明数列{an+an+1}是等比数列；
（II）利用（I）推出an+1+an=3n，然后说明数列{an+1-3an}是以-1为首项，公比为-1的等比数列，求出an+1-3an=（-1）n，解出an，然后求a1+a2+…an（n∈N*）
【解析】
（I）证明：因为an+1=2an+3an-1，所以an+1+an=3（an+an-1），
所以=3是常数，
所以数列{an+an+1}是以a1+a2=3为首项，等比为3的等比数列；
（II）由（Ⅰ）得an+1+an=3n，…①，
又an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．
得an+1-3an=-（an-3an-1），（n≥2且n∈N*）．
即=-1，常数，
所以数列{an+1-3an}是以-1为首项，公比为-1的等比数列，
an+1-3an=（-1）n，…②，
解①②得，an=，
∴a1+a2+…an=（31+32+33+…+3n）-[（-1）+（-1）2+（-1）3+…+（-1）n]
=   （n∈N*）．