Question

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），其导函数f′（x）=x²+2cosx且f（0）=0，则关于实数x的不等式f（x-2）+f（x²-2x）＞0的解集为（ ）
A．（0，1+）
B．（2，4）
C．（-∞，-1）∪（2，+∞）
D．（2，1+）

Answer

由导函数可求原函数f（x），判断函数f（x）单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式f（x-2）+f（x2-2x）＞0转化成f（x-2）＞f（2x-x2），利用单调性去掉函数符号f 即可解得所求，注意自变量本身范围．
【解析】
f'（x）=x2+2cosx
知f（x）=x3+2sinx+c而f（0）=0，
∴c=0
即：f（x）=x3+2sinx
易知，此函数是奇函数，且在整个区间单调递增，
因为f'（x）=x2+2cosx在x∈（0，2）恒大于0
根据奇函数的性质可得出，在其对应区间上亦是单调递增的f（x-2）+f（x2-2x）＞0
f（x-2）＞-f（x2-2x）
即：f（x-2）＞f（2x-x2）
∴
解得：x∈（2，1+）
故选D．