Question

已知函数f（x）=e^-x（2x-a），a∈R．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若关于实数x的方程f（x）=1在[，2]上有两个不等实根，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出函数的导函数，令导函数大于0求出x的范围即为单调递增区间；令导函数小于0求出x的范围即为递减区间
（Ⅱ）方程f（x）=1即（2x-a）=ex，分离出a，构造新函数，利用导数求出g（x）的最大值及两个端点的值，得到a的范围．
【解析】
（Ⅰ） f'（x）=-e-x（2x-a）+2e-x=-e-x（2x-a-2）…（3分）
当时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，…（5分）
∴f（x）在上是增函数，在上是减函数．…（6分）
（Ⅱ）方程f（x）=1即（2x-a）=ex，
∴a=2x-ex…（7分）
记，
则
当时，g'（x）＞0；当ln2＜x＜2时，g'（x）＜0…（9分）
而＞g（2）=4-e2，g（ln2）=2ln2-2，…（12分）
∴…（13分）