Question

已知函数f（x）=log₂（1+x）+alog₂（1-x）（a∈R）．
（1）若f（x）关于原点对称，求a的值；
（2）在（1）下，解关于x的不等式f^-1（x）＞m（m∈R）．

Answer

（1）直接利用函数奇偶性的定义得出f（-x）+f（x）=0，再利用函数解析式即可求出a值；
（2）由（1）得，根据反函数的定义求出其反函数，再对m进行分类讨论，结合对数函数的单调性解不等式即可．
【解析】
（1）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴f（-x）+f（x）=0，
有log2（1-x）+alog2（1+x）+log2（1+x）+alog2（1-x）=0，
化简得  （a+1）[log2（1-x）+log2（1+x）]=0
∵log2（1-x）+log2（1+x）不恒为0，
∴a+1=0，即a=-1．
（2）由（1）得则．
∵f -1（x）=1-∈（-1，1）
当m≥1时，不等式f -1（x）＞m  解集为∅
当-1＜m＜1时，解不等式 f-1（x）＞m 有
⇒1-＞m⇒2x＞⇒x＞
解集为  
当m≤-1时，不等式f-1（x）＞m对任意的x都成立，即解集为R