Question

已知点P_n（a_n，b_n）都在直线L：y=2x+2上，P₁为直线L与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）求证：（n≥3，n∈N^*）．

Answer

（I）由题设知P1（-1，0），an=-1+（n-1）×1=n-2，bn=2（n-2）+2=2n-2．
（II）由Pn（n-2，2n-2），知|P1Pn|=（n-1），（n≥3），由此能够证明（n≥3，n∈N*）．
【解析】
（I）∵P1为直线L：y=2x+2与x轴的交点，
∴当y=0时，x=-1，即P1（-1，0）．
∴a1=-1，b1=0，
∵数列{an}成等差数列，公差为1（n∈N*），
∴an=-1+（n-1）×1=n-2，
∵点Pn（an，bn）都在直线L：y=2x+2上，
∴bn=2（n-2）+2=2n-2
（II）∵Pn（n-2，2n-2），
∴|P1Pn|=（n-1），（n≥3）
∴．＞．
故（n≥3，n∈N*）．