Question

如图，正方体ABCD-A′B′C′D′长为1，E是BB′的中点，F是B′C′的中点，G是AB的中点
（1）求证：D′F⊥CG；
（2）求证：D′F∥平面A′DE．

Answer

（1）在上底面中构造直角三角形，用三角形全等的知识证明线线垂直
（2）先证明线线平行，从而用线面垂直的判定定理证明线面平行
证明：（1）取A'B'的中点H，连接C'H，交D'F于点P，则C'H∥CG
在正方形A'B'C'D'中，RT△D'C'F≌RT△C'B'H
∴∠C'D'F=∠BC'H
又∠C'D'F+∠C'FD'=90°
∴∠B'C'H+∠C'FD'=90°
∴∠C'PF=90°
∴D'F⊥C'H
∴D'F⊥CG
（2）取A'D的中点O，连接OE，取A'D'的中点O'，连接OO'，O'B'，则O'B'∥D'F
则OO'B'E，
∴四边形OO'B'E是平行四边形
∴O'B'∥OE
又O'B'∥D'F
∴D'F∥OE
又D'F⊈面A'DE，OE⊂面A'DE
∴D'F∥面A'DE