在圆C：x2+y2=4上任取一点P，过P作PD垂直x轴于D，且P与D不重合．（...

在圆C：x²+y²=4上任取一点P，过P作PD垂直x轴于D，且P与D不重合．
（1）当点P在圆上运动时，线段PD中点M的轨迹E的方程；
（2）直线l：y=x+1与（1）中曲线E交于A，B两点，求|AB|的值．

（1）设PD中点M（x，y），P（x′，y′），依题意，又点P在圆C：x2+y2=4上即可求得线段PD中点M的轨迹E的方程；（2）联立直线l：y=x+1与（1）中曲线E组成方程组，设出A，B两点，通过韦达定理，利用弦长公式求|AB|的值．【解析】（1）设PD中点M（x，y），P（x′，y′），依题意⇒ 2分又点P在圆C：x2+y2=4上，∴（x′）2+（y′）2=4即x2+4y2=4 4分又P与D不重合， ∴PD中点M的轨迹E的方程为．6分（2）由题意消去y可得 5x2+8x=0 8分设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1•x2=0，10分 ∴|AB|=|x1-x2|=.12分

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考点分析：

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如图，正方体ABCD-A′B′C′D′长为1，E是BB′的中点，F是B′C′的中点，G是AB的中点
（1）求证：D′F⊥CG；
（2）求证：D′F∥平面A′DE．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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