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已知双曲线manfen5.com 满分网,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点?如果能,求出直线l的方程;如果不能,请说明理由.
先假设存在这样的直线l,分斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程,当k存在时,与双曲线方程联立,消去y,得到关于x的一元二次方程,直线与双曲线相交于两个不同点,则△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,k<,M是线段AB的中点,则=1,k=2 与k<矛盾,当k不存在时,直线经过点P但不满足条件,故符合条件的直线l不存在. 【解析】 设过点P(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1 (1)当k存在时,有y=k(x-1)+1,, 得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0    (1) 当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有 △=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,k<, 又方程(1)的两个不同的根是两交点A、B的横坐标 ∴x1+x2=,又P(1,1)为线段AB的中点 ∴=1,即=1,k=2. ∴k=2,使2-k2≠0但使△<0 因此当k=2时,方程(1)无实数解 故过点P(1,1)与双曲线交于两点A、B且P为线段AB中点的直线不存在. (2)当x=1时,直线经过点P但不满足条件, 综上,符合条件的直线l不存在.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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