Question

若不等式x²+ax+1≥0对一切都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，0）
B．（-∞，-2]
C．
D．[-2，+∞）

Answer

对于不等式的左边，设函数f（x）=x2+ax+1，则函数f（x）在区间（0，]上的最小值大于或等于0．然后通过二次函数的图象与性质，分别在三种情况下讨论函数f（x）的最小值大于或等于零，得到三个符合题意的实数a的取值，最后综合可得实数a的取值范围．
【解析】
∵不等式x2+ax+1≥0对一切都成立，
∴函数f（x）=x2+ax+1在区间（0，]上的最小值大于或等于0
而函数f（x）=x2+ax+1的图象是一条开口向上的抛物线，
其对称轴为x=，下面分三种情况讨论函数的最小值
①当x=≤0时，即a≥0时，函数f（x）在区间（0，]上为增函数
∴函数f（x）的最小值大于f（0）=1≥0，符合题意．此时a≥0；
②当x=∈（0，]时，即-≤a＜0时，
函数f（x）的最小值为f（）=1-≥0，-2≤a≤2，
∴-≤a＜0；
③当x=＞时，即a≤-时，函数f（x）在区间（0，]上为减函数
∴函数f（x）的最小值f（）=+≥0，可得a≥-
因此-≤a≤-．
综上所述，得实数a的取值范围是：a≥-
故选C