Question

已知AC、BD为圆O：x²+y²=9的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为    ．

Answer

由圆的方程找出圆心坐标为（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，再由M的坐标，根据矩形的性质及勾股定理得到d12+d22=OM2，由M和O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM2，进而得到d12+d22的值，再由圆的半径，弦心距及弦长的一半，由半径的值表示出|AB|与|CD|的长，又四边形ABCD的两对角线互相垂直，得到其面积为两对角线乘积的一半，表示出四边形的面积，并利用基本不等式变形后，将求出的d12+d22的值代入，即可得到面积的最大值．
【解析】
∵圆O：x2+y2=9，
∴圆心O坐标（0，0），半径r=3，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，
∵M（1，），
则d12+d22=OM2=12+（）2=4，
又|AC|=2=2，|CD|=2=2，
∴四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|
==18-4=14，当且仅当d12 =d22时取等号，
则四边形ABCD面积的最大值为14．
故答案为：14