Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到左、右焦点F₁、F₂的距离之和为，离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点F₁的直线l与椭圆C交于点A、B，以F₂A、F₂B为邻边作平行四边形AF₂BM，求该平行四边形对角线F₂M的长度的取值范围．

Answer

（1）由题意可得，2a=2，可求a，c，结合b2=a2-c2可求b，进而可求椭圆方程
（2）由题意可得，F2（1，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），分①斜率不存在时，②当斜率存在时，=（x1-1，y1）+（x2-1，y2）=（x1+x2-2，y1+y2），利用向量的数量积的性质可先求，可求
【解析】
（1）由题意可得，2a=2
∴
∵=
∴c=1，b2=a2-c2=1
∴椭圆方程为 
（2）∵，F2（1，0）设A（x1，y1），B（x2，y2）
当斜率不存在时，
当斜率存在时，可设直线AB的方程为y=k（x+1）
联立方程可得（1+2k2）x2+4k2x+2（k2-1）=0
∴x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2+2）=
∴=（x1-1，y1）+（x2-1，y2）=（x1+x2-2，y1+y2）
∴==
∴ 
F2M 的长度的取值范围是（2，4]