Question

已知函数f（x）是定义域为R的单调减函数，且是奇函数，当x＞0时，
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-5）＜0．

Answer

（1）由定义域为R的函数f（x）是奇函数，知f（0）=0．当x＜0时，，由函数f（x）是奇函数，知，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由且f（x）在R上单调，知f（x）在R上单调递减，由f（t2-2t）+f（2t2-5）＜0，得f（t2-2t）＜-f（2t2-5），再由函数的奇偶性及单调性能求出实数t的取值范围．
【解析】
（1）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
，
又∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴，
综上所述．
（2）∵，
且f（x）在R上单调，
∴f（x）在R上单调递减，
由f（t2-2t）+f（2t2-5）＜0
得f（t2-2t）＜-f（2t2-5），
∵f（x）是奇函数，
∴f（t2-2t）＜f（5-2t2），
又∵f（x）是减函数，
∴t2-2t＞5-2t2
即3t2-2t-5＞0，
解得t＞或t＜-1．