Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和S_n满足，并且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求证：．

Answer

（1）先利用条件，求出数列的首项，再利用当n≥2时，，可求数列的通项，利用a2，a4，a9成等比数列，求出满足条件的数列的通项．
（2）利用（1）的结论，先进行放缩，再利用裂项法可求数列{bn}的前n项和，从而得证．
【解析】
（1）当n=1时，，∴a1=1或a1=2
当n≥2时，①
∵
∴①-②，并整理得（an+an-1）（an-an-1-3）=0
∵数列{an}的各项均为正数
∴an-an-1=3
当a1=1时，an=3n-2，此时满足a2，a4，a9成等比数列．
当a1=2时，an=3n-1，此时不满足a2，a4，a9成等比数列
∴an=3n-2
（2）根据（1）的结论可得
∴=
∴