Question

已知：F₁，F₂为的左右焦点，点A为椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限），，．
（1）求此椭圆的方程．
（2）若P、Q是椭圆上的两点，并且满足，求证：向量与共线．

Answer

（1）设|AC|=m，|BC|=2m，根据，，计算|AC|，利用△COA是等腰直角三角形，可得a2=4，C（1，1）代入，可得，从而可求椭圆的方程；
（2）设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，由得（3k2+1）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0，从而可求PQ的斜率，利用，所以PQ与AB平行，所以与共线．
（1）【解析】
设|AC|=m，|BC|=2m
∵，，
∴m2+4m2=10
∴
∵△COA是等腰直角三角形
∴a2=4，C（1，1）
代入，可得
∴椭圆的方程为
（2）证明：设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，
由得（3k2+1）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0
∴，
∴，
同理，
∴
而，所以PQ与AB平行，所以与共线．