Question

如图，在直角梯形ABCD中AD∥BC，BC⊥CD，∠ABC=45°，直角梯形ABCD与矩形ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设DC=1．

（1）求证：AQ⊥DQ；
（2）求线段AD的最小值，并指出此时点Q的位置；
（3）当AD长度最小时，求直线BD与平面PDQ所成的角的正弦值．

Answer

（1）要证AQ⊥CD，只需通过平面ABCD⊥平面ADQP，证明PA⊥平面ABCD，然后证明CD⊥平面ADQP，即可
（2）设CQ=x，AD=y，在Rt△ADQ中，通过y2=DQ2+AQ2=x2+1+（y-x）2+1，利用基本不等式求出AD的最小值．
（3）连接BD交AQ于E，过点E作EF⊥PQ于F，说明∠EDF就是BD与平面PDQ所成的角，通过△PAQ为等腰直角三角形．
求出sin∠EDF．
（1）证明∵平面ABCD⊥平面ADQP，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥QD，QD⊥PA，∴QD⊥平面AQP
AQ⊂平面AQP∴AQ⊥CD，…4分
（2）【解析】
设CQ=x，AD=y，∵AQ⊥DQ，
∴在Rt△ADQ中，y2=DQ2+AQ2=x2+1+（y-x）2+1
∴y=x+≥2，当且仅当x=1时取等号．
所以AD的最小值为2，此时CQ=1．
（3）【解析】
由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ，PQ是其交线，
连接BD交AQ于E，过点E作EF⊥PQ于F，EF⊥平面PDQ．
∴∠EDF就是BD与平面PDQ所成的角．…（11分）
由已知得AQ=，PQ=2∴△PAQ为等腰直角三角形．
∴EF=，ED=∴sin∠EDF=…（14分）
（注：用向量方法或体积法解答正确给相应的分数）