Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点坐标为F（2，0），点P的坐标为（m，0）（m≠0），设过点P的直线l交抛物线C于A，B两点，点P关于原点的对称点为点Q．
（1）当直线l的斜率为1时，求△QAB的面积关于m的函数表达式．
（2）试问在x轴上是否存在一定点T，使得TA，TB与x轴所成的锐角相等？若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将抛物线C的方程y2=8x与直线l的方程y=x-m联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理求得弦|AB|，从而可求得△QAB的面积关于m的函数表达式；
（2）将y=k（x-m）与y2=8x联立，设A（x3，y3），B（x4，y4），设点T（t，0）存在，由TA，TB与x轴所成的锐角相等可得kTA+kTB=0，利用韦达定理，即可求得t=-m．
【解析】
（1）由条件知，抛物线C的方程为y2=8x，直线l的方程为y=x-m，点Q（-m，0），
由得：x2-2（m+4）x+m2=0．①
由①式判别式△＞0，得m＞-2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2（m+4），x1x2=m2，
|AB|=|x1-x2|==8．
又∵点Q（-m，0）到直线l1的距离d=|m|，
∴S△QAB=|m|•8=4，其中m＞-2且m≠0…7
（2）方程为y=k（x-m），由得：k2x2-2（mk2+4）x+k2m2=0．②
设A（x3，y3），B（x4，y4），则x3+x4=，x3x4=m2．
设点T（t，0）存在，TA，TB与x轴所成的锐角相等，kTA+kTB=0，=0，
即=0，
整理得：2x3x4-（m+t）（x3+x4）+2mt=0，
∴2m2-（m+t）+2mt=0，
∴t=-m．
∴符合条件的点T存在，其坐标为T（-m，0）…15