Question

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；
（2）当a=时，若存在x₁、x₂∈[0，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），求x₂-x₁的最小值；
（3）若x∈[0，+∞）时，F（x）≥F（-x）恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）先求出其导函数，再结合x=0是F（x）的极值点即可求出a的值；（注意要代入验证）
（2）先由f（x1）=g（x2）把求x2-x1的最小值转化为a=时函数3F（x）在[0，+∞）上的最小值，再结合第一问求出的单调区间即可求出结论．
（3）先令h（x）=F（x）-F（-x），把问题转化为h（x）≥0恒成立问题，通过求其导函数得到其单调区间，进而得出结论．
【解析】
（1）∵F（X）=f（x）-g（x）=ex+sinx-ax．
∴F′（x）=ex+cosx-a．
因为x-=0是F（x）的极值点，
所以F′（0）=e+cos0-a=0，所以a=2．
当x＜0时，F′（x）=ex+cosx-a＜1+1-2=0；
当x≥0时，则φ（x）=ex+cosx-a，φ′（x）=ex-sinx≥1-1=0；
所以函数Fx）在[0，+∞）上递增，从而F′（x）≥F′（0）=1+1-a=2-2=0．
于是x=0是函数F（x）的极小值点．
∴a=2符合题意．
（2）因为a=，由f（x1）=g（x2）得x2=3（ex+sinx1），
∴x2-x1=3（（ex+sinx1-x1），所以求x2-x1的最小值即求a=时函数3F（x）在[0，+∞）上的最小值，
由（1）得F′（x）=ex+cosx-a在[0，+∞）上递增，
从而F′（x）≥F′（0）=1+1-a=2-＞0，
所以F（x）在[0，+∞）上递增，所以3F（x）≥3F（0）≥3．
∴x2-x1得最小值为3．
（3）令h（x）=F（x）-F（-x）=ex-e-x+2sinx-2ax，
则h′（x）=ex+e-x+2cosx-2a．
令t（x）=h′（x），t′（x）=ex-e-x-2sinx，
令s（x）=t′（x），s′（x）=ex+e-x-2cosx．
∵s′（x）=ex+e-x-2cosx≥2-2=0，
∴t′（x）在[0，+∞）递增，从而t′（x）≥t′（0）=0，
∴h′（x）在[0，+∞）递增，从而h′（x）≥h′（0）=4-2a．
当a≤2时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）递增，即h（x）≥h（0）=0
∴当a≤2时，F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）时恒成立；
当a＞2时，h′（x）＜0，
又∵h′（x）在[0，+∞）递增，
所以总存在x∈（0，+∞）使得在区间[0，x）上h′（x）＜0，
导致h（x）在[0，x）上递减，而h（0）=0，
∴当x∈（0，x）时，h（x）＜0
这与F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）时恒成立不符，
所以a＞2不合题意．
综上：a的取值范围：（-∞，2]