Question

设{x_n}是各项都为正数的等比数列，{y_n}是等差数列，且x₁=y₁=1，x₃+y₅=13，x₅+y₃=21．
（1）求{x_n}，{y_n}的通项公式．
（2）若i，j均为正整数，且1≤i≤j≤n，求所有可能乘积x_i•y_j的和S．

Answer

（1）直接根据x3+y5=13，x5+y3=21列出关于公差和公比的等式，解方程求出公差和公比，即可求出通项公式．
（2）先根据条件得到S=x1•y1+（x1+x2）•y2+…+（x1+x2+…+xn）•yn；再求出（x1+x2+…+xn）•yn的通项；最后利用错位相减以及裂项求和法求出结果．
【解析】
（1）设{xn}的公比为q（q＞0），{yn}的公差为d，
则得d=2，q=2，
所以：xn=2n-1，yn=2n-1．
（2）由题意S=x1•y1+（x1+x2）•y2+…+（x1+x2+…+xn）•yn…
研究通项：…
∴S=[1•2+3•22+…+（2n-1）•2n]-
令Tn=1•2+3•22+…+（2n-1）•2n；
2Tn=1•22+3•23+…+（2n-1）•2n+1
由错位相减法得：Tn=（2n-3）•2n+1+6，
∴S=（2n-3）•2n+1+6-n2．