Question

（2007广州市水平测试）已知圆C经过坐标原点，且与直线x-y+2=0相切，切点为A（2，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）若斜率为-1的直线l与圆C相交于不同的两点M、N，求的取值范围．

Answer

（1）解法一：设圆C的圆心为C，推出直线AC的方程．利用直线OA的斜率，求出直线OA的垂直平分线，求出圆心C的坐标，圆的半径，得到圆的方程．
解法二：设圆C的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，通过圆C经过坐标原点，且与直线x-y+2=0相切，切点为A（2，4）．解得，求出圆的方程．
解法三：设圆心C的坐标为（a，b）．依题意通过解方程组，求出圆的圆心坐标求出半径，得圆的方程．
（2）设直线l的方程为y=-x+m，M（x1，y1），N（x2，y2）．利用直线与圆的方程列出方程组，借助韦达定理，利用向量数量积，通过直线l与圆C相交于不同两点，求出 的取值范围．
（本小题满分14分）
（1）解法一：设圆C的圆心为C，依题意得直线AC的斜率kAC=-1，
∴直线AC的方程为y-4=-（x-2），即x+y-6=0．
∵直线OA的斜率=2，
∴直线OA的垂直平分线为，即x+2y-5=0．
解方程组得圆心C的坐标为（7，-1）．
圆的半径为，
圆的方程为（x-7）2+（y+1）2=50．
解法二：设圆C的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，
依题意得，
解得圆的方程为（x-7）2+（y+1）2=50．
解法三：设圆心C的坐标为（a，b）．
依题意得，
解得，
∴圆心C的坐标为（7，-1）．
∴圆C的半径为．圆的方程为（x-7）2+（y+1）2=50．
（2）【解析】
设直线l的方程为y=-x+m，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由，
消去y得2x2-（2m+16）x+m2+2m=0．
∴．
∴=（x1-2）（x2-2）+（y1-4）（y2-4）=（x1-2）（x2-2）+（-x1+m-4）（-x2+m-4）==m2+2m-（m-2）（m+8）+（m-4）2+4=m2-12m+36=（m-6）2．
∵直线l与圆C相交于不同两点，
∴．
∴-4＜m＜16．
∴的取值范围是[0，100）．…（14分）