Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=A（x，y）AB=2，点E、M分别为A₁B、C₁C的中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；
（Ⅱ）求几何体B-CME的体积．

Answer

（Ⅰ）取C1D1的中点N，连MN，证明EM∥A1N，而EM⊄平面A1B1C1D1，A1N⊂平面A1B1C1D1．即可证明EM∥平面A1B1C1D1；
（Ⅱ）求出E到平面DCM的距离d，利用 VB-CME=VE-BCM，即可求几何体B-CME的体积．
【解析】
（Ⅰ）证明：取C1D1的中点N，连MN，D1C∵E为A1B中点
又∵M为CC1中点∴MN∥D1C，又D1C∥A1B
∴MN∥A1E   故四边形A1EMN为平行四边形∴EM∥A1N
而EM⊄平面A1B1C1D1，A1N⊂平面A1B1C1D1．
∴EM∥平面A1B1C1D1…（6分）
（Ⅱ）∵E为A1B之中点，E到平面DCM的距离d=AB=2
由 VB-CME=VE-BCM=dS⊳BCM=…（12分）