Question

已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁≠a₂，a_m、a_k、a_h都是数列{a_n}中满足a_h-a_k=a_k-a_m的任意项．
（Ⅰ）证明：m+h=2k；
（Ⅱ）证明：S_m•S_h≤S_k²；
（III）若也成等差数列，且a₁=2，求数列的前n项和．

Answer

（I）根据等差数列的通项公式，用公差d，首项a1将ah，ak，am表示出，化简整理寻求h，k，m的关系．
（II）根据等差数列{an}的前n项和公式，将Sm•Sh与 Sk2 求出，，Sk2=利用基本不等式，结合已知，，（a1+am）（a1+ah） =（a1+ak）2合理的放缩转化，进行证明．
（III）不妨取m，n，h的一组特殊值寻求突破．取m=1，k=2，h=3．求得公差d，进而可求数列的前n项和，再用放缩法可证．
【解析】
（I）设数列{an}的公差为d，由题意a1＜0，d＞0．
∵ah-ak=ak-am，∴（h-k）d=（k-m）d，∴m+h=2k．…（2分）
（II）=，∴Sm•Sh≤Sk2．…（6分）
（III）取m=1，k=2，h=3，显然a1，a2，a3满足a3-a2=a2-a1．…（7分）
由也成等差数列，则．
两边平方得，
再两边平方整理得4a12-4a1d+d2=0，即（2a1-d）2=0，
∴d=2a1=4．…（9分）
∴an=（2n-1）a，Sn=2n2，
∴．，显然这时数列{an}满足题意．                         …（10分）
∴Sn-S1=2n2-2=2（n2-1）．
∴…（12分）
则=
=．…（14分）