Question

给出下列四个命题：
①已知，则函数g（x）=f（2^x）在（0，1）上有唯一零点；
②对于函数的定义域中任意的x₁、x₂（x₁≠x₂）必有；
③已知f（x）=|2^-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），则必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定义在R上的两个函数，对任意x、y∈R满足关系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0时f（x）•g（x）≠0．则函数f（x）、g（x）都是奇函数．
其中正确命题的序号是    ．

Answer

①通过方程组求得f（x），从而求得g（x），由g（x）=0即可判断其正误；
②可借助图形判断其正误；
③可利用f（x）=|2-x+1-1|在（a，b）上单调递增，判断③；
④分别判断f（x），g（x）的奇偶性，即可判断④的正误．
【解析】
∵f（x）+2f（）=3x①，
∴2f（x）+f（）=②，
②×2-①得：f（x）=-x，
∴g（x）=f（2x）=-2x=，由g（x）=0解得x=，
∴函数g（x）=f（2x）在（0，1）上有唯一零点；①正确；
②对于函数的定义域中任意的x1、x2（x1≠x2）必有，故②错误；
对于③f（x）=|2-x+1-1|，
∵a＜b，f（a）＜f（b），
∴f（x）=|2-x+1-1|在（a，b）上单调递增，
∴f（x）=1-2-x+1（2-x+1-1＜0即x＞1），
∴b＞1，
∴0＜f（b）=|2-b+1-1|=1-2-b+1＜1，故③正确；
对于④，令x=0，有f（-y）+f（y）=0，f（-y）=-f（y）函数f（x）是奇函数，
∵x≠0时，f（x）•g（x）≠0，
∴g（-y）==g（y），
∴函数g（x）是偶函数，
∵④错误．
综上所述，①③正确．
故答案为：①③．