Question

已知函数是奇函数，又．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x∈（0，+∞）时，讨论函数的单调性，并写出证明过程．

Answer

（1）先利用奇函数的定义f（-x）=-f（x）求出c的值，再利用x=1和x=2的函数值列出关于a，b的方程组求出a，b即得；
（2）先任意取两个变量，且界定其大小，再作差变形看符号，注意变形到等价且到位．
【解析】
（1）∵f（x）为奇函数．
∴f（-x）=-f（x），
，
∴对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
恒成立
∴c=0（2分）
又，且
可得a=b=1（4分）
∴a=b=1，c=0（5分）
（2）
得x1，x2是（0，+∞）上任意两实数，且x1＜x2

=（7分）
当x1，x2∈（0，1）时，x1x2-1＜0，x1-x2＜0，x1x2＞0
∴，即f（x1）＞f（x2）（9分）
当x1，x2∈（1，+∞）时，x1x2-1＞0，x1-x2＜0，x1x2＞0
∴即f（x1）＜f（x2）（11分）
∴f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（12分）