Question

设函数，g（x）=x+1，对任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，则实数m的取值范围是    ．

Answer

通过已知条件，得到m与x的不等式，通过m＞0与m＜0，分别借助二次函数求出m的范围即可．
【解析】
函数，g（x）=x+1，对任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，
所以，
①当m＞0时，上式化为m2x（x+1）-1≥0，即m2x2+m2x-1≥0，
函数y=m2x2+m2x-1的对称轴x=-，开口向上，
对任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，
必有f（1）≥0，即2m2-1≥0，因为m＞0解得m∈．
②当m＜0时，因为x∈[1，+∞），所以，
即m2x2+m2x-1≤0，函数y=m2x2+m2x-1的对称轴x=-，开口向上，
对任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，
显然不成立，
综上实数m的取值范围是：．