Question

直三棱柱中ABC-A₁B₁C₁中，B₁C₁=A₁C₁，AC₁⊥A₁B，M，N分别为A₁B₁，AB中点，
求证：
（1）平面AMC₁∥平面NB₁C；
（2）A₁B⊥AM．

Answer

（1）先在四边形AA1B1B中，利用一组对边平行且相等证出四边形B1NAM是平行四边形，从而B1N∥AM，再结合直线与平面平行的判定定理，可得直线B1N∥平面AMC1，再用同样的方法证出CN∥平面AMC1，最后利用平面与平面平行的判定定理，可以证出平面AMC1∥平面NB1C；
（2）先根据直三棱柱的性质，利用线面垂直证出C1M⊥BB1，结合等腰三角形A1B1C1中，中线C1M⊥A1B1，利用直线与平面垂直的判定定理，证出C1M⊥平面AA1B1B，从而得到直线C1M⊥A1B，再结合已知条件AC1⊥A1B，得到A1B⊥平面AC1M，结合AM⊂平面AC1M，最终得到A1B⊥AM．
证明（1）∵M，N分别为A1B1，AB中点，
∴B1M∥NA且B1M=NA，
∴四边形B1NAM是平行四边形
∴B1N∥AM
又∵AM⊂平面AMC，B1N⊄平面AMC1，
∴B1N∥平面AMC1
连接MN，
∵矩形BB1A1A中，M、N分别是A1B1、AB的中点
∴BB1∥MN且BB1=MN
∵BB1∥CC1且BB1=CC1
∴四边形CC1MN是平行四边形，
∴MC1∥CN，
∵MC1⊂平面AMC，CN⊄平面AMC1，
∴CN∥平面AMC1，
∵CN⊂平面B1CN，B1N⊂平面B1CN，CN∩B1N=N，
∴平面B1CN∥平面AMC1；
（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
BB1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1
∴C1M⊥BB1
又∵B1C1=A1C1，M为A1B1中点，
∴C1M⊥A1B1，
∵A1B1∩BB1=B1，A1B1、BB1⊂平面AA1B1B
∴C1M⊥平面AA1B1B，
∵A1B⊂平面AA1B1B，
∴C1M⊥A1B，
又∵AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，C1M、AC1⊂平面AC1M，
∴A1B⊥平面AC1M，
∵AM⊂平面AC1M，
∴A1B⊥AM．