Question

已知幂函数y=f（x）的图象过点，
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由．

Answer

（1）假设幂函数y=f（x）=xα，根据幂函数y=f（x）的图象过点，可建立方程，从而可求f（x）的解析式；
（2）确定函数的定义域，可知函数的奇偶性，再利用单调性的定义证明函数的单调性．
【解析】
（1）设幂函数y=f（x）=xα，则依据题意
∵幂函数y=f（x）的图象过点，
∴，
∴，
∴=
（2）由（1）知函数的定义域为（0，+∞），定义域不关于原点对称，
故函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
在定义域（0，+∞）上任意选取两个实数x1，x2，使x1＜x2，
则
=
=
又∵0＜x1＜x2，
∴，
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
所以函数f（x）在定义域上是单调递减函数．