Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若，求k的值；
（3）若点A在第一象限，证明：当k＞0时，恒有．

Answer

说明：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．
【解析】

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为．（3分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，
故．（5分）
若，即x1x2+y1y2=0．
而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
于是，
化简得-4k2+1=0，所以．（8分）
（Ⅲ）因为A（x1，y1）在椭圆上，所以满足y2=4（1-x2），y12=4（1-x12），=（x12-x22）+4（1-x12-1+x22）=-3（x1-x2）（x1+x2）=．
因为A在第一象限，故x1＞0．由知x2＜0，从而x1-x2＞0．又k＞0，
故，
即在题设条件下，恒有．（12分）