Question

已知函数f（x）=log₃x+2 （x∈[1，9]），则函数y=[f（x）]²+f（x²）的最大值是（ ）
A．13
B．16
C．18
D．22

Answer

先求函数的定义域，要使函数有意义需1≤x≤9且1≤x2≤9，解得x∈[1，3]，在将所求函数展开为关于整体log3x的函数，利用换元法，将函数转化为二次函数求最值问题，再利用配方法求二次函数最大值即可
【解析】
函数y=[f（x）]2+f（x2）的定义域为{x|1≤x≤9且1≤x2≤9}=[1，3]
且y=[f（x）]2+f（x2）=（log3x+2）2+log3（x2）+2
=（log3x）2+6log3x+6
设t=log3x，∵x∈[1，3]，∴t∈[0，1]
∴y=t2+6t+6=（t+3）2-3在[0，1]上单调递增
∴y≤1+6+6=13
故选 A