Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）若关于x的不等式a＞f（x）有解，求实数a的取值范围．

Answer

（1）令y=|2x+1|-|x-4|，去掉绝对值化简解析式并作出图象，求出函数y=|2x+1|-|x-4|与直线y=2的交点的坐标，结合图形得到答案．
（2）结合y=|2x+1|-|x-4|图象可求得f（x）min，从而可求得实数a的取值范围．
【解析】
（1）令y=|2x+1|-|x-4|，
则，
作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象，它与直线y=2的交点为（-7，2）和 ，
所以|2x+1|-|x-4|＞2的解集为（-∞，-7）∪（，+∞）．

（2）由图可知f（x）min为直线y=3x-3与y=-x-5交点的纵坐标，由解得y=-，
∴f（x）min=-．
∴要使a＞f（x）有解，则a＞-．
∴所求的实数a的取值范围为（-，+∞）．