Question

已知等比数列{a_n}共有m项 （ m≥3 ），且各项均为正数，a₁=1，a₁+a₂+a₃=7．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若数列{b_n}是等差数列，且b₁=a₁，b_m=a_m，判断数列{a_n}前m项的和S_m与数列的前m项和T_m的大小并加以证明．

Answer

（1）根据所给的数列首项和前三项之和，整理出关于公比q的一元二次方程，解方程得到两个解，舍去负解，写出数列的通项．
（2）由an=2n-1得，数列{bn}是等差数列，b1=a1=1，bm=am=2m-1，而Tm=（b1-）+（b2-）+（b3-）+…+（bm-）=（b1+b2+b3+…+bm）-=m-=m=m•2m-2，利用Tm-Sm=m•2m-2-（2m-1）=（m-4）2m-2+1，即可得到结论．
【解析】
（1）设等比数列{an}的公比为q，则1+q+q2=7，
∴q=2或q=-3
∵{an}的各项均为正数，∴q=2                             
所以an=2n-1
（2）由an=2n-1得
数列{bn}是等差数列，b1=a1=1，bm=am=2m-1，
而Tm=（b1-）+（b2-）+（b3-）+…+（bm-）=（b1+b2+b3+…+bm）-
=m-=m=m•2m-2
∵Tm-Sm=m•2m-2-（2m-1）=（m-4）2m-2+1
∴当m=3时，T3-S3=-1，∴T3＜S3．
∴当m≥4时，Tm＞Sm