Question

已知函数f（x）的定义域R，如果x＞0，则f（x）＞-1．且满足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，．
（1）证明f（x）的单调性；
（2）解不等式f（-x）+f（x²-4）≥6．

Answer

（1）令x=x1，x+y=x2，则y=x2-x1＞0，由函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，可得当x1＜x2时，f（x2）＞f（x1），进而根据函数单调性的定义得到结论；
（2）根据及函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，求出f（1）=3，f（2）=7，结合函数的单调性进而将原不等式化为x2-x-4≥2，解答即可．
证明：（1）任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，
令x=x1，x+y=x2，则y=x2-x1＞0
则f（x2-x1）＞-1
由函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
故f（x2）=f（x1）+f（x2-x1）+1＞f（x1），
故函数f（x）在R为增函数
【解析】
（2）∵函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+1，
令x=y=，可得f（1）=f（）+f（）+1=1+1+1=3
令x=1，y=1，可得f（2）=f（1）+f（1）+1=3+3+1=7
则不等式f（-x）+f（x2-4）≥6可化为f（-x）+f（x2-4）+1≥7
即f（x2-x-4）≥6=f（2）
即x2-x-4≥2，即x2-x-6≥0
解得x≤-2，或x≥3