Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c∈R且满足a＞b＞c，f（1）=0．
（1）证明：函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点A，B；
（2）若函数F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值为9，最大值为21，试求a，b的值；
（3）求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围．

Answer

（1）证明函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点A，B，只需证明：ax2+2bx+c=0，有两个不同的实数根；
（2）函数F（x）=f（x）-g（x）=ax2+2bx+c的对称轴为，可以证明y=F（x）在[2，3]上为增函数，利用函数F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值为9，最大值为21，可求a=2，b=1；
（3）设方程F（x）=ax2+2bx+c=0的两根为x1，x2，则，从而，确定对称轴的范围及变量的区间，即可求得线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围．
（1）证明：由g（x）=-bx与f（x）=ax2+bx+c得ax2+2bx+c=0，
∵f（1）=a+b+c=0，a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
从而△=b2-4ac＞0，
即函数f（x）与g（x）的图象交于不同的两点A，B；…（3分）
（2）【解析】
∵c=-a-b，a＞b＞c，
∴a＞c=-a-b
∴2a＞-b
∴
∵函数F（x）=f（x）-g（x）=ax2+2bx+c的对称轴为，
∴y=F（x）在[2，3]上为增函数，…（6分）
∵函数F（x）=f（x）-g（x）在[2，3]上的最小值为9，最大值为21
∴F（2）=3a+3b=9，F（3）=8a+5b=21，
∴a=2，b=1；…（8分）
（3）【解析】
设方程F（x）=ax2+2bx+c=0的两根为x1，x2，∴
，…（9分）
∵a＞b＞c，b=-a-c
∴a＞-a-c＞c
∴，…（10分）
设，则它的对称轴为上是减函数，
∴．…（12分）