Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性并予以证明；
（3）若f（3）=-1，解不等式f（log₂x）＞-2．

Answer

（1）令x1=x2＞0，代入可求出f（1）的值；
（2）任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2则，根据条件可得f（x1）与f（x2）的大小关系，最后根据单调性的定义进行判定；
（3）将函数值-2用f（9）表示，然后根据单调性建立不等式，解之即可．
【解析】
（1）令x1=x2＞0，代入得f（1）=f（x1）-f（x1）=0
∴f（1）=0
（2）任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＞x2则
∵当x＞1时，f（x）＜0
∴即f（x1）-f（x2）＜0
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（3）由，得f（）=f（9）-f（3）
而f（3）=-1所以f（9）=-2
由函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数且f（log2x）＞f（9）
 则0＜log2x＜9即1＜x＜512
因此不等式的解集为{x|1＜x＜512}