Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱长为3，且侧棱AA₁⊥面ABC，点D是BC的中点．
（1）求证：AD⊥C₁D；
（2）求证：A₁B∥平面ADC₁．

Answer

（1）证明C1C⊥AD，AD⊥BC，利用BC∩C1C=C，推出AD⊥平面BCC1B1，然后证明AD⊥C1D．
（2）连接A1C交AC1于点E，再连接DE，说明E为A1C的中点，证明ED∥A1B，证明A1B∥平面ADC1．
【解析】
（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，
又AD⊂平面ABC，所以C1C⊥AD，…（2分）
又点D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以AD⊥BC，
因为BC∩C1C=C，所以AD⊥平面BCC1B1，…（4分）
又因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥C1D．…（6分）
（2）连接A1C交AC1于点E，再连接DE．…（7分）
因为四边形A1ACC1为矩形，
所以E为A1C的中点，…（8分）
又因为D为BC的中点，
所以ED∥A1B．…（10分）
又A1B⊄平面ADC1，ED⊂平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1．…（12分）