Question

若函数f（x）=x++lnx
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）函数f（x）是否存在极值．

Answer

（1）确定函数的定义域，再求导函数，利用导数大于0，即可得到函数的单调增区间；
（2）求导函数，考查导数为0的方程根的情况，利用分类讨论的思想，确定方程根的情况，进而确定函数f（x）是否存在极值．
【解析】
（1）由题意，函数f（x）的定义域为{x|x＞0}…（2分）
当a=2时，，
∴…（3分）
令f′（x）＞0，即，得x＜-2或x＞1…（5分）
又因为x＞0，所以，函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）…（6分）
（2）  …（7分）
令g（x）=x2+x-a，因为g（x）=x2+x-a对称轴，所以只需考虑g（0）的正负，
当g（0）≥0，即a≤0时，在（0，+∞）上g（x）≥0，
即f（x）在（0，+∞）单调递增，f（x）无极值   …（10分）
当g（0）＜0，即a＞0时，g（x）=0在（0，+∞）有解，所以函数f（x）存在极值．…（12分）
综上所述：当a＞0时，函数f（x）存在极值；当a≤0时，函数f（x）不存在极值．…（14分）