Question

若函数f（x）=ax³+x，
（1）求实数a的取值范围，使f（x）在R上是增函数．
（2）求实数a的取值范围，使f（x）恰好有三个单调区间．

Answer

求导函数，可得f′（x）=3ax2+1，
（1）f（x）在R上是增函数，则f′（x）=3ax2+1≥0在R上恒成立；
（2）f（x）恰好有三个单调区间，则f′（x）=3ax2+1=0有两个不相等的实数根
故可求得结论．
【解析】
求导函数，可得f′（x）=3ax2+1，
（1）f（x）在R上是增函数，∴f′（x）=3ax2+1≥0在R上恒成立，
当x=0时，a∈R；当x≠0时，3a，∴a≥0；
综上知，a≥0；
（2）f（x）恰好有三个单调区间，则f′（x）=3ax2+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=0-12a＞0
∴a＜0