Question

函数f（x）=x²+ax+3．
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）对一切实数x恒成立，转化为二次函数恒为非负，利用根的判别式小于等于0即可．
（2）对于[-2，2]区间内的任意x恒成立，同样考虑二次函数，不过须分三种情况讨论（如图所示）：一种是对称轴在区间上；另外两情况是种是区间在对称轴的左或右，最后结合图象即可解决问题．
【解析】
（1）∵x∈R时，有x2+ax+3-a≥0恒成立，
须△=a2-4（3-a）≤0，即a2+4a-12≤0，所以-6≤a≤2．
（2）当x∈[-2，2]时，设g（x）=x2+ax+3-a≥0，
分如下三种情况讨论（如图所示）：
①如图（1），当g（x）的图象恒在x轴上方时，满足条件时，有△=a2-4（3-a）≤0，即-6≤a≤2．
②如图（2），g（x）的图象与x轴有交点，
但在x∈[-2，+∞）时，g（x）≥0，即即⇔解之得a∈Φ．
③如图（3），g（x）的图象与x轴有交点，
但在x∈（-∞，2]时，g（x）≥0，即即⇔⇔-7≤a≤-6
综合①②③得a∈[-7，2]．